Nach Galin [Ar89, Anhang 6] ist die folgende Liste (Gln. (A.15),...,(A.20)) von sechs quadratischen Hamilton-Funktionen vollständig: Alle anderen quadratischen Hamilton-Funktionen erhält man dadurch, daß man mehrere der folgenden linear kombiniert -- so wie wir es in Gl. (A.4) an einem einfachen Beispiel demonstriert haben -- und die so erhaltene Hamilton-Funktion einer geeigneten linearen kanonischen Transformation unterwirft. Die im folgenden aufgeführten sechs -Typen werden deshalb als die Normalformen der quadratischen Hamilton-Funktionen bezeichnet.
Die Galinsche Klassifizierung wird in konsequenter Verallgemeinerung unseres Vorgehens in Abschnitt A.1 konstruiert. Ausgehend von der speziellen Eigenwertstruktur der Hamilton-Matrix (siehe Seite ) , werden systematisch diejenigen Hamilton-Funktionen aufgelistet, die den für eine Hamilton-Matrix möglichen Eigenwerttupeln entsprechen, wobei die jeweils erlaubten Dimensionen des Jordan-Kästchens dieses Eigenwerttupels berücksichtigt werden.
Wir weisen an dieser Stelle noch darauf hin, daß sich die Hamilton-Funktionen für , die man durch Linearkombination der Normalformen dieses Abschnittes erhält, von den in Abschnitt A.1 diskutierten Hamilton-Funktionen teilweise unterscheiden, was jeweils auf eine andere Anordnung der Zeilen und Spalten in den Hamilton-Matrizen zurückzuführen ist. Wir müssen uns hier auf Galins Aussage verlassen, daß alle Hamilton-Funktionen nach dem oben genannten Schema aus seinen Normalformen hergeleitet werden können.
Wir nun die Galinschen Normalformen für quadratische Hamilton-Funktionen und den Normalformbegriff der Dragt-Finn-Stegemerten-Theorie kombinieren und die folgende Definition einer verallgemeinerten Normalform geben.
Diese Definition ist sinnvoll, denn jede Hamilton-Funktion kann
im Sinn von Definition A.1 normalisiert werden: Nach Galin
kann jedes kanonisch in eine Linearkombination von -Termen der
Typen I bis
VI transformiert werden, und Stegemertens Satz 1.3
stellt die Normalisierbarkeit der Anteile von mit größerem Grad als
zwei sicher.
Die Diskussion von in verallgemeinerter Normalform befindlichen
Hamilton-Funktionen bietet sich deswegen an, weil man für diese
Hamilton-Funktionen (bis auf eine Ausnahme) unmittelbar die zweiten
Integrale der DFS-Theorie angeben kann, ebenso wie das in Abschnitt
A.1 für den Fall gelang.
Formale Integrale für die Galinschen Normalformen:
(A.-3) |
Offensichtlich ist die Jordan-Chevalley-Zerlegung von durch
gegeben, so daß wir für das formale Integral der
Galin-Normalform I
(A.-3) |
(A.-3) |
(A.-2) |
(A.-1) |
(A.-1) |
(A.0) |
(A.1) |
(A.2) |
Es ist uns bisher nicht gelungen, auch für das
DFS-Integral des Galinschen -Typs VI zu finden, weil
die Hamilton-Matrix hier schon recht kompliziert wird. Wir
erhalten für :
Wir überlassen es dem Leser, die Jordan-Chevalley-Zerlegung
dieser -Hamilton-Matrix zu finden und damit
diejenigen Summanden von zu identifizieren, die das
DFS-Integral im Fall VI konstituieren.
Die Resultate des vorliegenden Anhanges A
lassen sich zu dem im folgenden dargestellten Verfahren zusammenzufassen,
nach dem ein Hamiltonsches System durch die Bestimmung eines zweiten
Integrals der Bewegung analysiert werden kann: