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Die magnetische Flasche nach Brown und Gabrielse
Brown und Gabrielse betrachten in [BrGa86] eine Anordnung zur
Speicherung von Ionen, die im wesentlichen aus einem homogenen Magnetfeld
besteht, dem ein ,,Flaschen-Term`` in Gestalt eines
inhomogenen
-Feldanteils überlagert wird:
|
(2.24) |
Brown und Gabrielse befassen sich nur mit dem (einfacheren) Fall, in dem
und das gleiche Vorzeichen haben, in dem also der inhomogene
Feldanteil nahe der -Achse den homogenen verstärkt. Im Gegensatz dazu
behandeln
wir hier gleichzeitig beide möglichen Fälle,
,
soweit es um die Herleitung und Vereinfachung der Hamilton-Funktion geht.
Weil die Anordnung offensichtlich axiale Symmetrie aufweist
(und zusätzlich evakuiert sein soll), muß sich
dieses Magnetfeld in die Multipolentwicklung des vorangegangenen
Abschnitts einordnen lassen. In der Tat findet man mit Hilfe von
Tabelle 2.2 sofort, daß man
|
(2.25) |
zu wählen hat, um
gemäß den
Gln. (2.11) und (2.14) zu entwickeln.
Der inhomogene Feldanteil ist demnach ein Oktupolterm, so daß es
verständlich wird, warum Brown und Gabrielse gerade dieses
-Feld (2.24) betrachten: Sowohl der
homogene als auch
der Oktupol-Feldanteil sind experimentell einfach zu realisieren.
Es ist nützlich, sich eine anschauliche Vorstellung von der Dynamik eines
geladenen Teilchens in diesem Magnetfeld zu verschaffen.
Hierfür berechnen wir zunächst die funktionale Gestalt der
-Feldlinien in der -Ebene. Wir folgern aus
der allgemeinen Feldliniengleichung
|
(2.26) |
(mit einem Parameter ) für das Brown-Gabrielse-Magnetfeld
die Differentialgleichung
Die allgemeine Lösung dieser Gleichung erhält man als
|
(2.27) |
Hierbei ist
nur für solche definiert,
für die der Radikand in Gl. (2.27) nicht negativ ist.
Diese
-Feldlinien sind für und
in den Abbildungen 2.1 und 2.2
dargestellt2.4.
Wäre das Magnetfeld homogen, dann führte das Teilchen aufgrund der
Lorentz-Kraft eine Spiralbewegung mit der Zyklotronfrequenz
um eine Feldlinie herum aus.
Natürlich ist das Brown-Gabrielse-Magnetfeld (2.24)
nicht homogen,
aber qualitativ folgt das Teilchen trotzdem spiralend einer Feldlinie,
solange das Feld nicht ,,zu inhomogen`` wird, also zum Beispiel,
solange das Teilchen nicht zu weit vom Koordinatenursprung entfernt ist.
Wie man aus den Abbildungen entnehmen kann, gelangt das Teilchen aber
irgendwann in einen Raumbereich, in dem sich die Feldlinien
einander nähern und das Magnetfeld immer stärker wird, so daß das
Teilchen zurückgeworfen wird und der Feldlinie in umgekehrter Richtung
folgt. Diese anschaulichen Überlegungen bedürfen natürlich einer
genaueren Begründung;
wir werden diese Begründung in Kapitel 3 geben.
Wir nutzen jetzt Gl. (2.16) aus, um die dem Magnetfeld
entsprechende Hamilton-Funktion anzugeben; dabei
wählen wir zusätzlich
|
(2.28) |
im Einklang mit unserer Forderung nach einer Hamilton-Funktion, die
,,einfach`` genug ist, um mit dem Normalformen-Formalismus
behandelt werden
zu können (vgl. Seite f).
Denn wäre der Azimutalimpuls von null verschieden,
so erhielten wir einen zu proportionalen Summanden in
der Hamilton-Funktion, und läge nicht in
Gestalt einer Potenzreihe
vor --
die Normalformentheorie wäre nicht direkt anwendbar.
Unter Berücksichtigung von Gl. (2.28) und von Gl. (2.25) für die Koeffizienten der Multipolentwicklung
erhalten wir die
Hamilton-Funktion der Brown-Gabrielse-Magnetflasche als
Wir wählen
als Masseneinheit die Teilchenmasse und als
Ladungseinheit seine Ladung . Das heißt, wir setzen formal und
.
skalieren wir die Längen und die Zeit so, daß
möglichst einfach wird. Dabei müssen wir zwei Fälle
unterscheiden, je nachdem, ob der Oktupolanteil des
-Feldes das
Dipol-
-Feld verstärkt oder abschwächt, ob also und
gleiche oder entgegengesetzte Vorzeichen haben.
Wir messen den Ort in Einheiten von
und die Zeit in Einheiten von
, das heißt, wir
setzen (jeweils im Fall
):
Zur Vereinfachung der Schreibweise ersetzen wir im folgenden die
gestrichenen wieder durch ungestrichene Größen. Damit ergibt sich
die Hamilton-Funktion als
Abschließend skalieren wir noch die Energie gemäß
|
(2.32) |
(Dabei ändert die Energie durch die Skalierung ihr Vorzeichen nicht!),
lassen die Strichmarkierung wieder weg und verbleiben schließlich mit
Der quadratische Anteil dieser Hamilton-Funktion zeigt, daß man das
Brown-Gabrielse-System in erster Näherung durch eine harmonische
Oszillation in -Richtung und eine freie Bewegung in -Richtung
beschreiben kann. Die Kopplungsterme, die hier von vierter und sechster
Ordnung sind, führen dann aber zu der oben angedeuteten gebundenen
Bewegung (falls von null verschieden ist).
Im Hinblick auf die Normalformentheorie ist es wichtig
zu bemerken,
daß dieses System nicht mit dem
Gustavsonschen
Formalismus behandelt werden kann, denn dort geht man ja davon aus, daß
das betrachtete System in niedrigster Ordnung durch (in diesem Fall zwei)
harmonische Oszillatoren beschrieben wird. Hier deutet sich schon
die Bedeutung der Dragt-Finn-Stegemertenschen Theorie an, die für
alle
in Form einer Potenzreihe vorliegenden Hamilton-Funktionen anwendbar ist.
Fußnoten
- ...
dargestellt2.4
- Für oder ergeben sich
ähnliche Bilder, die in Abhängigkeit davon, ob
und gleiche oder entgegengesetzte
Vorzeichen haben, entweder der Abbildung
2.1 oder der Abbildung
2.2 entsprechen.
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Martin_Engel
2000-05-25