Das Potential $V_{\rm BG}$

Die Hamilton-Funktion $H_{\rm BG}$ der Brown-Gabrielse-Magnetflasche haben wir in Gl. (2.33) angegeben. Wir beschränken uns im folgenden auf den in Abschnitt 2.2 diskutierten Fall $B_0B_2>0$; die Analyse des Falles $B_0B_2<0$ verliefe vollständig analog zu den Untersuchungen des vorliegenden Kapitels. Die im folgenden betrachtete Hamilton-Funktion lautet demnach:

$$\begin{array}{rcl} \quad H_{\rm BG}(\rho,z,p_\rho,p_z) & ... ...frac{1}{16}\rho^4z^2 + \frac{1}{128}\rho^6 \quad. \end{array}$$ (3.1)

$H_{\rm BG}$ beschreibt ein Teilchen mit zwei Freiheitsgraden der Bewegung. Hierbei ist zu beachten, daß die Koordinate $\rho$ im Gegensatz zu $z$ keine gewöhnliche kartesische Koordinate ist, sondern den Abstand von der $z$-Achse bezeichnet. Deshalb kann $\rho$ eigentlich nicht negativ werden. Es ist aber trotzdem sinnvoll, negative $\rho$-Werte zuzulassen, weil auch $\rho$ dann wie eine gewöhnliche kartesische Koordinate behandelt werden kann.

Um dieses Vorgehen zu verdeutlichen, betrachten wir eine Trajektorie, die zur Zeit $t=0$ die $z$-Achse durchläuft: $\rho(0)=0$. Wegen der Wahl $p_\varphi=0$ in Gl. (2.28) sind solche Trajektorien möglich, denn nur im Fall $p_\varphi\neq0$ verhindert der Term $(p_\varphi/\rho)^2$ in der Hamilton-Funktion (2.16) das Erreichen der $z$-Achse. Wir untersuchen, wie sich der Winkel $\varphi$ mit der Zeit ändert. Zunächst folgt, unter Berücksichtigung der Gln. (2.21,2.25,2.11) und von Tabelle 2.1,

$$\quad \left\vert \dot{\varphi}\right\vert = \left\vert -\... ...ght) \right\vert < \infty \quad \forall \quad\rho\neq0 \quad;$$

somit ist $\varphi(t)$ für $\rho(t)\neq0$ stetig. Für $\rho=0$ ist $\varphi$ aber nicht definiert. Hier sind zwei Fälle zu unterscheiden: Entweder ist $\dot{\rho}(0)=0$, dann bleibt das Teilchen für alle Zeiten auf der $z$-Achse und bewegt sich frei, weil in der Hamilton-Funktion alle Terme bis auf $\frac{1}{2}p_z^2$ verschwinden. Oder aber es gilt $\dot{\rho}(0)\neq0$. Dann schneidet das Teilchen die $z$-Achse, und $\varphi$ macht einen Sprung um $\pi$, ist also nicht stetig in $\rho=0$. Diesem ,,Durchpendeln`` durch die $z$-Achse tragen wir dadurch Rechnung, daß wir negative $\rho$-Werte zulassen. In Abbildung 3.1 veranschaulichen wir diese Verallgemeinerung von $\rho$.

Damit können wir $H_{\rm BG}$ als die Hamilton-Funktion eines Systems mit zwei Freiheitsgraden der Bewegung in $\rho$- und $z$-Richtung ansehen, bei dem die Koordinate $\rho$ keinen besonderen Beschränkungen mehr unterliegt.

Wir zerlegen die Hamilton-Funktion (2.33) in die Summe ihres kinetischen Anteils und eines Potentials $V_{\rm BG}(\rho,z)$,

$$H_{\rm BG}(\rho,z,p_\rho,p_z) = \frac{1}{2}\left(p_\rho^2+p_z^2\right) + V_{\rm BG}(\rho,z)$$ (3.2)

mit

$$\quad V_{\rm BG}(\rho,z) = \frac{1}{2}\rho^2 + +\frac{1}{2}\rho^2z^2 -\frac{1}{8}\rho^4 + \frac{1}{8}\rho^2z^4 - \frac{1}{16}\rho^4z^2 + \frac{1}{128}\rho^6$$

$$= \frac{1}{2}\rho^2 \left[ 1+\frac{1}{2}\left(z^2 -\frac{1}{4}\rho^2\right)\right]^2 \quad,$$ (3.3)

und wenden uns im folgenden der Untersuchung dieses Potentials zu.

Abbildung 3.2 zeigt die Äquipotentiallinien von $V_{\rm BG}$.

Das Potential ist positiv semidefinit. Die Berechnung der kritischen Punkte von $V_{\rm BG}$ durch Nullsetzen des Gradienten

$$\begin{array}{rcl} {\mbox{\protect\boldmath$\nabla$}}V_{\r... ...o^2\right)\right) {\mbox{\protect\boldmath$e$}}_z \end{array}$$ (3.4)

ergibt zwei Sattelpunkte $(\rho_{{\rm S}_{1,2}},z_{{\rm S}_{1,2}}) = (\pm \sqrt{8/3},0)$ mit der Potentialhöhe $V_{\rm BG}(\rho_{\rm S},z_{\rm S}) = 16/27$. Außerdem sind auch die Punkte $(\rho_{\rm N},z_{\rm N})$ der drei durch

beschriebenen Kurven kritische Punkte; auf diesen drei eindimensionalen Mannigfaltigkeiten hat das Potential den Wert null.

Wir untersuchen zunächst, inwiefern die Bezeichnung des durch Gl. (3.1) beschriebenen Systems als magnetische ,,Flasche`` gerechtfertigt ist.