Lie-Transformationen

Wir betrachten ein autonomes Hamilton-System (1.1) mit $n$ Freiheitsgraden der Bewegung. Die Hamilton-Funktion $H({\mbox{\protect\boldmath$q$}},{\mbox{\protect\boldmath$p$}})$ liege in Form einer formalen Potenzreihe vor und habe nur Summanden mit einem (Total-) Grad, der mindestens 2 ist. Wir berücksichtigen also nur solche Systeme, die einen Fixpunkt haben und legen diesen, ohne Beschränkung der Allgemeinheit^1.4, in den Ursprung.

Um eine kompaktere Notation zu erreichen, benutzen wir, ebenso wie in Abschnitt 1.1.2, den $2n$-Vektor

$\parbox{11.5cm}{ \begin{displaymath} \quad{\mbox{\protect\boldmath... ...$}} \choose {\mbox{\protect\boldmath$p$}}} \in {\bf R}^{2n} \end{displaymath}}$ $\parbox{1.5cm}{ \hfill (\ref{ZVektor}) }$

und können damit für die Hamilton-Funktion schreiben:

$$\quad H({\mbox{\protect\boldmath$q$}},{\mbox{\protect\bold... ...}) = \sum_{l\geq 2} H_l({\mbox{\protect\boldmath$z$}}) \quad.$$ (1.31)

Die $\H_l$ sind homogene Polynome vom Grad $l$ in den Phasenraumkoordinaten $({\mbox{\protect\boldmath$q$}},{\mbox{\protect\boldmath$p$}})$ bzw. ${\mbox{\protect\boldmath$z$}}$:

$$\quad H_l({\mbox{\protect\boldmath$z$}}) = \sum_{\vert{\mb... ...{\protect\footnotesize\protect\boldmath$m$}} \in \L _l \quad;$$ (1.32)

$\L _l$ bezeichnet den Vektorraum der homogenen Polynome vom Grad $l$ in $2n$ Variablen. Die Dimension dieses Vektorraumes ist um den Faktor $1/2n$ kleiner als die seines Pendants $\H_l$, was dadurch bedingt ist, daß die Elemente von $\L _l$ skalare Polynome sind, im Gegensatz zu den vektorwertigen Polynomen in $\H_l$. Da die Polynomräume $\H_l$ und $\L _l$ für größere Grade $l$ sehr hochdimensional werden [PlEA78],

$$\quad \mbox{dim}(\L _l) = {2n+l-1 \choose 2n-1} \quad,$$ (1.33)

erweist sich die Reduktion der Dimension beim Übergang von $\H_l$ zu $\L _l$ bei praktischen Berechnungen als sehr nützlich: In Kapitel 4 werden beispielsweise Polynome vom Grad 14 betrachtet, was bei $n=2$ auf $\mbox{dim}(\L _{14})=680$ führt.

Wir definieren noch den (unendlichdimensionalen) Vektorraum aller formalen Potenzreihen als die direkte Summe der $\L _l$:

$$\L := \bigoplus_{l=0}^\infty \L _l \quad.$$ (1.34)

Analog zu der Vorgehensweise in Abschnitt 1.1.1 diskutieren wir zunächst eine wichtige Klasse von Transformationen, die das wesentliche Hilfsmittel für die Darstellung der Normalformentheorie und die Durchführung der Transformation einer Hamilton-Funktion auf Normalform sind. Dabei stützen wir uns vor allem auf die Darstellung in [DrFi76a,DrFi79].

Wir beginnen mit der

Definition 1.1   : Der zu der Potenzreihe $F\in\L$ adjungierte Lie-Operator ist

$$\begin{array}{rccl} \mbox{\rm ad}_F: & \L & \to & \L\\ [0.... ...G & \mapsto & \mbox{\rm ad}_F(G) = \{G,F\} \quad. \end{array}$$ (1.35)

$\{\cdot,\cdot\}$ symbolisiert hierbei die Poisson-Klammer:

Speziell für den Lie-Operator, der zum quadratischen Anteil $H_2$ der Hamilton-Funktion adjungiert ist, setzen wir

$$\quad {\cal A}_m = \mbox{\rm ad}_{H_2} \Big\vert _{{\bf\cal L}_m} \quad, \quad m=2,3,\ldots \quad.$$ (1.35)

${\cal A}_m(G)$ steht also für die Poisson-Klammer des Grad $m$-Polynoms $G$ mit $H_2$. Wichtig ist die Invarianz von $\L _m$ unter ${\cal A}_m$: Für $F\in\L _l$ und $G\in\L _m$ ist $\mbox{\rm ad}_F(G)\in\L _{l+m-2}$, so daß im Spezialfall $F=H_2$ gilt: ${\cal A}_m(\L _m)\subseteq\L _m$ für alle $m\geq 2$. Der lineare Operator ${\cal A}_m$ auf dem Vektorraum $\L _m$ spielt in der Normalformentheorie für Hamilton-Systeme eine ähnlich bedeutsame Rolle wie der zu einem linearen Vektorfeld adjungierte Lie-Operator ${\cal B}_m$ (1.22) in der Normalformentheorie für Vektorfelder.

Um eine Hamilton-Funktion Schritt für Schritt auf ihre -- noch zu definierende -- Normalform zu transformieren, benötigen wir ein Gegenstück für die in Abschnitt 1.1.1 verwendete Transformation (1.16). Hierfür definieren wir den linearen Operator $\exp(\mbox{\rm ad}_F)$:

Definition 1.2   Die der Potenzreihe $F\in\L$ assoziierte Lie-Transformation ist

$$\begin{array}{rccl} \quad \exp(\mbox{\rm ad}_F): & \L & \... ...tyle \frac{1}{i!}} {\mbox{\rm ad}_F}^i(H) \quad, \end{array}$$ (1.36)

mit

Es wird sich zeigen, daß Transformationen vom Typ (1.48) ein sehr bequemes und einfach zu handhabendes Hilfsmittel für die Normalformentheorie darstellen. Zunächst müssen wir aber sicherstellen, daß die Verwendung von Lie-Transformationen im Rahmen der Hamilton-Mechanik sinnvoll ist, insbesondere, daß sie kanonisch sind [De69].

Wir gehen von einem Satz kanonischer Phasenraumkoordinaten $z_i, i=1,2,\ldots,2n$, aus und transformieren diese mittels der der Potenzreihe $F$ assoziierten Lie-Transformation:

$$\quad \tilde{z_i} := \exp\left(\mbox{\rm ad}_F\right)z_i \quad.$$ (1.36)

Um die Kanonizität dieser Transformation nachzuweisen, müssen wir zeigen, daß die fundamentalen Poisson-Klammern

$$\begin{array}{rcl} \{q_i,p_j\} & = & \delta_{ij} \\ [0.2cm... ...& = & 0 \\ [0.2cm] \{p_i,p_j\} & = & 0 \\ [0.2cm] \end{array}$$ (1.37)

bzw., mit Gl. (1.46b),

$$\{z_i,z_j\} = J_{ij}$$ (1.38)

unter (1.50) erhalten bleiben.

Wir untersuchen zunächst allgemein, wie sich Poisson-Klammern unter Lie-Transformationen verhalten. $F$, $G$ und $\H$ seien aus $\L$. Dann gilt, weil für Poisson-Klammern die Jacobi-Identität erfüllt ist^1.5:

$$\mbox{\rm ad}_F\{G,H\} = \{\{G,H\},F\}$$

$$= -\{\{H,F\},G\}-\{\{F,G\},H\}$$

$$= \{G,\mbox{\rm ad}_F(H)\} + \{\mbox{\rm ad}_F(G),H\} \quad.$$ (1.39)

Mit einer Induktion nach $i$ folgt dann

$$\quad {\mbox{\rm ad}_F}^i\{G,H\} = \sum_{j=0}^i {i \choose... ...box{\rm ad}_F}^j(G),{\mbox{\rm ad}_F}^{i-j}(H) \right\} \quad,$$ (1.40)

so daß man schließlich für die gesamte Lie-Transformation erhält:

$$\exp\left(\mbox{\rm ad}_F\right)\{G,H\} = \displaystyle \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} {\mbox{\rm ad}_F}^i \{G,H\}$$

$$= \displaystyle \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} %% {\ad_F}^i \sum_{... ...i \choose j} \left\{ {\mbox{\rm ad}_F}^j(G),{\mbox{\rm ad}_F}^{i-j}(H) \right\}$$

$$= \displaystyle \sum_{i=0}^\infty \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{i!} \frac{1}{k!} \left\{{\mbox{\rm ad}_F}^i(G),{\mbox{\rm ad}_F}^k(H)\right\}$$

$$= \displaystyle \left\{ \exp\left(\mbox{\rm ad}_F\right)(G), \exp\left(\mbox{\rm ad}_F\right)(H) \right\} \quad.$$ (1.41)

Die Lie-Transformierte der Poisson-Klammer zweier Funktionen ist also gerade die Poisson-Klammer der Lie-Transformierten dieser Funktionen. Dies nutzen wir jetzt für den Nachweis der Kanonizität aus. In den neuen, durch die Transformation (1.50) erhaltenen Variablen $\tilde{z}_i, \tilde{z}_j$ ergeben sich die folgenden Poisson-Klammern:

$$\left\{ \tilde{z}_i,\tilde{z}_j \right\} = \left\{\exp\left(\mbox{\rm ad}_F\right)z_i,\exp\left(\mbox{\rm ad}_F\right)z_j \right\}$$

$$= \exp\left(\mbox{\rm ad}_F\right) \left\{z_i,z_j\right\}$$

$$= \left\{z_i,z_j\right\} \quad.$$ (1.42)

Im letzten Schritt haben wir noch ausgenutzt, daß die Poisson-Klammer von $z_i$ und $z_j$ eine Zahl ist (entweder 0 oder 1) und deswegen von $\exp\left(\mbox{\rm ad}_F\right)$ nicht verändert wird. Gl. (1.56) zeigt die Invarianz der fundamentalen Poisson-Klammern unter der Lie-Transformation (1.50) und damit deren Kanonizität^1.6.

Um eine anschauliche Interpretation der Lie-Transformation $\exp(\mbox{\rm ad}_F)$ entwickeln zu können, benötigen wir im folgenden die Inverse dieses Operators. Sie ist auch bei der praktischen Berechnung von Integralen der Bewegung in Abschnitt 1.2.4 unerläßlich. Es gilt:

$$\left(\exp\left(\mbox{\rm ad}_F\right)\right)^{-1} = \exp\left(\mbox{\rm ad}_{-F}\right)$$ (1.43)

Zum Beweis berechnen wir die Produktabbildung $\exp\left(\mbox{\rm ad}_{-F}\right) \exp\left(\mbox{\rm ad}_F\right)$ und zeigen, daß sie gleich der Identität $\mbox{\rm id}_{2n}$ ist. Dabei benutzen wir, daß $\mbox{\rm ad}_F$ und $\mbox{\rm ad}_{-F}$ vertauschen: $\mbox{\rm ad}_F\mbox{\rm ad}_{-F}=\mbox{\rm ad}_{-F}\mbox{\rm ad}_F$.

$$\begin{eqnarray*} \exp\left(\mbox{\rm ad}_{-F}\right)\exp\left(\mbox{\rm ad}_F\... ...{i!} \left( \mbox{\rm ad}_{-F}+\mbox{\rm ad}_F \right)^i \quad. \end{eqnarray*}$$

Mit $\mbox{\rm ad}_{-F}+\mbox{\rm ad}_F=0$ folgt dann die Behauptung.

Nachdem wir in Gl. (1.56) die Kanonizität der Lie-Transformation (1.50) gezeigt haben, beweisen wir jetzt, daß die Hamilton-Funktion $\H$ unter einer solchen kanonischen Transformation in die neue Hamilton-Funktion $\exp(\mbox{\rm ad}_{-F})(H)$ übergeht. Zunächst weisen wir die Beziehung

$$\quad H\Big(\exp(\mbox{\rm ad}_F)({\mbox{\protect\boldmath$... ...x{\rm ad}_F)\Big(H({\mbox{\protect\boldmath$z$}})\Big) \quad.$$ (1.44)

nach. (Auf der linken Seite dieser Gleichung ist mit $\exp(\mbox{\rm ad}_F)({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ die Anwendung des Operators $\exp(\mbox{\rm ad}_F)$ auf jede der Komponenten $z_i$ des Vektors ${\mbox{\protect\boldmath$z$}}$ gemeint.) Wir schreiben die linke Seite von Gl. (1.58) als

$$\quad \sum_{l\geq 2} \sum_{\vert{\mbox{\protect\footnotesi... ...Big)^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$m$}} \quad,$$

und weil $\exp(\mbox{\rm ad}_F)$ ein linearer Operator ist, gilt für die rechte Seite der Gleichung:

$$\begin{eqnarray*} \quad \exp(\mbox{\rm ad}_F)\Big(H({\mbox{\protect\boldmath$z... ...\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$m$}}\right) \quad. \end{eqnarray*}$$

Damit bleibt für den Beweis von Gl. (1.58) nur noch zu zeigen, daß

$$\Big( \exp(\mbox{\rm ad}_F)({\mbox{\protect\boldmath$z$}}) ... ...z$}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$m$}}\right)$$

gilt. Diese Beziehung folgt aber sofort aus ${\mbox{\protect\boldmath$z$}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$m$}}=z_1^{m_1}\cdots z_{2n}^{m_{2n}}$ und aus der folgenden elementaren Eigenschaft einer auf das Produkt zweier Potenzreihen $G_1$, $G_2$ wirkenden Lie-Transformation:

$$\quad \exp(\mbox{\rm ad}_F)(G_1G_2) = \exp(\mbox{\rm ad}_F)(G_1)\exp(\mbox{\rm ad}_F)(G_2) \quad;$$ (1.45)

der Beweis dieser Eigenschaft erfolgt völlig analog zur Herleitung der Beziehung (1.55). Wir haben damit Gl. (1.58) nachgewiesen und können sie für die Berechnung der neuen, durch die Lie-Transformation erzeugten Hamilton-Funktion $\tilde{H}(\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}})$ benutzen. Wegen der Gln. (1.50,1.57) ist

$$\begin{eqnarray*} \quad \tilde{H}(\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}}) & = &... ...h$z$}}})}) (\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}}) \Big) \quad, \end{eqnarray*}$$

so daß wir schließlich unter Benutzung von Gl. (1.58) das erhalten, was zu beweisen war:

$$\quad \tilde{H}(\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}}) = \... ...) \Big( H(\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}}) \Big) \quad.$$ (1.46)

Die Bedeutung von Gl. (1.58) bzw. von Gl. (1.60) liegt darin, daß wir mit ihrer Hilfe der Lie-Transformation (1.50) eine ganz neue anschauliche Interpretation geben können: Wir sehen jetzt in ${\mbox{\protect\boldmath$z$}}\mapsto\exp(\mbox{\rm ad}_F)({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ eine Transformation, die eine Funktion $\H$ in eine andere Funktion $\exp(\mbox{\rm ad}_{-F})(H)$ transformiert. Wegen Gl. (1.56) wissen wir, daß diese Transformation kanonisch ist. Damit ist die Dynamik des durch die alte Hamilton-Funktion $H({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ beschriebenen Systems äquivalent zur Dynamik des neuen Hamilton-Systems $\exp\left(\mbox{\rm ad}_{-F({\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$z$}})}\right)(H({\mbox{\protect\boldmath$z$}}))$, wenn man beide Systeme in den Koordinaten ${\mbox{\protect\boldmath$z$}}$ bzw. $({\mbox{\protect\boldmath$q$}},{\mbox{\protect\boldmath$p$}})$ betrachtet. Von diesem ,,aktiven`` Standpunkt aus interpretiert man die Transformation (1.50) nicht mehr als einen Wechsel der Variablen, sondern als die Umformung eines Hamilton-Systems in ein anderes, dazu äquivalentes, wobei das Koordinatensystem unverändert bleibt.

Fußnoten

... Allgemeinheit^1.4

Vgl. hierzu die Fußnote auf Seite .

... ist^1.5

Die Tatsache, daß die Poisson-Klammern die Jacobi-Identität erfüllen, macht $L$ mit der Produktoperation $\left\{\cdot,\cdot\right\}$ zu einer Lie-Algebra [Hu87].

... Kanonizität^1.6

In [ChEA83] wird ein anderer Beweis für die Kanonizität von Lie-Transformationen beschrieben.